Analyse structurelle par éléments finis (FEA) pour débutants : 5 étapes de la conception basée sur la simulation

Article de Shivani Patel sur sept. 30, 2024

La simulation, ou prototypage virtuel, permet aux ingénieurs de visualiser les performances de leur conception d'une manière que même les tests en laboratoire ne permettent pas. Mieux encore, c'est souvent plus rentable, plus rapide et moins laborieux que tout ce qu'il faut pour faire un test physique. Un outil aussi précieux doit nécessairement être coûteux et difficile à mettre en œuvre, n'est-ce pas ? Pas forcément.

Table des matières

GoEngineer a aidé des milliers de petites et grandes entreprises à adopter et à améliorer leurs outils d'analyse. Dans cet article, on va vous présenter les différents outils. étapes de la simulation une utilisation qui permet à une équipe de conception de passer très facilement du statut de novice à celui d'expert, comme nous l'avons vu se produire à maintes reprises avec nos clients lorsqu'ils utilisent SOLIDWORKS Simulation et les outils FEA basés sur Abaqus.

 

 

Pourquoi simuler ?

Avant d'aborder les étapes, commençons par le « pourquoi ». Imaginez un cycle de conception divisé en trois phases : conception conceptuelle, préliminaire et détaillée. Au début, la génération d'idées et les changements peuvent survenir rapidement. Cependant, à mesure qu'une conception devient de plus en plus précise, complexe et/ou interdépendante, toute modification nécessite beaucoup plus d'heures d'ingénierie pour être mise en œuvre. Dans le pire des cas, un produit est déjà sur le terrain avant même qu'une défaillance ne soit constatée.C'est pour ça qu'on a recours à la simulation : pour réduire le coût du changement.

Representative cost of change against design stage

Figure 1 : Coût représentatif du changement par rapport à l'étape de conception

La simulation peut aussi être appelée « analyse » ou « prototypage virtuel ». La précision d'un prototype virtuel peut varier, allant de « précision dans le domaine d'application spécifique » à « précision générale pour tout cas d'utilisation du produit ». Les meilleurs prototypes virtuels peuvent même remplacer les prototypes physiques à des fins réglementaires ou de certification.

Les tendances de l'industrie montrent que les entreprises les plus performantes sont 30 % plus susceptibles d'avoir des solutions de prototypage virtuel à l'interne que leurs concurrents. Les statistiques montrent également que près de la moitié du secteur de la CAO exploite déjà le prototypage virtuel à divers titres.Taille du marché des prototypes virtuels, Grand View Research).

Lorsqu'un produit arrive en fin de cycle de conception (par exemple, un assemblage complexe faisant appel à des physiques complexes), prédire sa réponse nécessite des outils de simulation plus performants et plus performants. C'est peut-être ce qu'on peut imaginer en évoquant la simulation ou en lisant son marketing.

Cependant, les outils d'analyse ne servent pas uniquement à prédire avec précision la réalité juste avant la fabrication d'un produit. Ils constituent un outil indispensable à l'ingénieur, utilisable tout au long du processus de conception. Il existe des outils beaucoup plus simples (et moins coûteux !) qui s'adaptent non seulement à la phase de conception finale, mais aussi aux phases conceptuelle et préliminaire.

Si vous êtes prêt à intégrer le prototypage virtuel à l'interne, commencez par le bas et progressez progressivement. Avec les outils, la formation et la feuille de route appropriés, vous pouvez atteindre votre objectif final de manière prévisible grâce à une série de petites victoires.

Mise en route – Conception conceptuelle

Chaque entreprise a des besoins différents, mais les tendances parmi les clients de GoEngineer impliquent la mise en œuvre d'une analyse au stade conceptuel et son développement au fil du temps jusqu'à une conception détaillée.

La réalité est complexe, mais la réaction générale d'une structure est souvent prévisible avec un crayon et du papier. Regardez autour de vous : combien d'objets peuvent être simplifiés en cylindres et en prismes rectangulaires ? Dans les images ci-dessous, quelle est la force de cisaillement subie par les boulons lorsque l'arbre est soumis à un couple ?

10 Stage compressor and rig shaft   A representative, simplified CAD model of a 10 Stage compressor and rig shaft

Figure 2 : Compresseur à 10 étages et arbre de forage par rapport à un modèle CAO simplifié représentatif

La géométrie réaliste peut soulever des questions telles que : comment la précharge, l'ajustement serré et les tolérances de fabrication influencent-ils le résultat ? Bien que cela soit possible à l'aide de programmes d'analyse par éléments finis, regardez l'image de droite, où le système est simplifié en cylindres. La force de cisaillement peut être prédite à partir d'équations standards de couple, de moment d'inertie et de cisaillement, ce qui permet de prendre des décisions de conception efficaces.

Étape 1 : Calcul manuel et SOLIDWORKS SimulationXpress

Votre équipe de conception actuelle profite sans doute déjà de la simplification. Elle bénéficiera de l'accès à des calculatrices courantes comme Excel et d'une formation de base aux langages de programmation comme VBA et Python. SOLIDWORKS 3D CAD inclut également des outils logiciels qui peuvent l'aider. Complétez ses efforts en consultantProblèmes de vérification de simulation SOLIDWORKS et en garantissant leur accès libreSimulationXpresspour l'analyse par éléments finis (structurelle statique linéaire) introductive sur des composants individuels.

Design comparison using SOLIDWORKS SimulationXpress Design comparison using SOLIDWORKS SimulationXpress, analyses shown here had solve times less than 1 minute.

Figure 3 : Comparaison de la conception à l'aide de SOLIDWORKS SimulationXpress. Les analyses présentées ici ont des temps de résolution inférieurs à 1 minute.

SimulationXpress, intégré à l'interface SOLIDWORKS, est immédiatement utile pour analyser des géométries trop complexes pour un calcul manuel rapide. Dans les images ci-dessus, des supports en fer de forme organique sont comparés pour la distribution des contraintes, la déflexion maximale et le coefficient de sécurité global. Les dimensions et les conceptions sont modifiées à l'aide de l'outil paramétrique intégré afin de minimiser le poids et de maximiser la résistance. Ce retour visuel et numérique est précieux dès le début de la conception.

Ces outils sont faciles à utiliser, avec peu ou pas de formation et, bien sûr, sans frais supplémentaires. Pour toute question, contactez votre revendeur SOLIDWORKS.

À quoi ressemble le succès de la première étape

Grâce à l'accès aux tutoriels et aux outils mentionnés ici, ainsi qu'aux commentaires visuels et numériques disponibles avec SOLIDWORKS SimulationXpress, vos concepteurs établiront une base plus solide en mécanique des structures et étendront les capacités de leurs propres calculs manuels.

À mesure que les concepteurs gagnent en confiance dans la mécanique des structures et l'analyse par éléments finis :

  • Le temps de conception consacré à la discussion et à l'itération dans la phase de conception conceptuelle sera raccourci.
  • Les concepteurs auront une autre méthode pour présenter des arguments plus solides et plus clairs expliquant pourquoi certains changements de conception devraient être apportés.
  • L'équipe dans son ensemble devrait constater des améliorations dans le temps de traitement des tâches critiques.

Premier achat de logiciel – Conception préliminaire

Éventuellement, il y a suffisamment d'interactions représentatives entre la CAO et les composants dans la conception au niveau de l'assemblage, de sorte qu'un outil FEA complet sera bénéfique.

Si la majorité de vos produits sont faits de matériaux rigides, l'objectif est généralement d'éviter les déformations permanentes et autres modes de défaillance. Les outils d'analyse par éléments finis (FEA) à ce niveau offrent ces analyses de modes de défaillance « prêtes à l'emploi » ; ils sont modélisés afin de faciliter leur exécution par le concepteur. Outre la prédiction des résultats finaux, ces outils, grâce à leur intégration à la CAO, permettent naturellement une analyse comparative rapide des différentes solutions de conception.

Étape 2 : SOLIDWORKS Premium et SOLIDWORKS Standard Simulation

Il s'agit de votre entrée dans l'analyse des assemblages porteurs. Que vous connaissiez déjà les charges à prescrire ou que vous deviez les extraire à l'aide des outils d'analyse de mouvement inclus, ce premier niveau complet de SOLIDWORKS FEA vous aidera à concevoir avec succès des cibles de résistance et de durabilité.

Damage percentage plot from SOLIDWORKS Simulation Standard

Figure 4 : Graphique du pourcentage de dommages de SOLIDWORKS Standard Simulation

Si vous avez déjà travaillé avec SimulationXpress avant la mise à niveau, tout devrait vous sembler familier, mais nous vous recommandons tout de mêmequelques formations essentielles, que vous pouvez suivre à votre rythme (et qui comprend des heures de bureau avec un formateur GoEngineer). Si vous êtes déjà abonné à SOLIDWORKS avec GoEngineer, ce cours est gratuit !Connectez-vous au portail GoEngineerpour commencer.

Étape 3 : SOLIDWORKS Simulation professionnelle

De nombreuses entreprises savent dès le départ qu'elles ont besoin d'un peu plus qu'une simple analyse statique linéaire. Comme l'expérience utilisateur est très similaire entre les produits SOLIDWORKS, il est tout aussi facile pour elles de commencer à SOLIDWORKS Simulation professionnelleCe niveau suivant vous permet de prédire des modes de défaillance supplémentaires, comme la fréquence naturelle, le flambage ou la fatigue. J'utiliserai l'exemple d'un réservoir soumis à une charge de pression pour illustrer ce point.

L'image ci-dessous montre un réservoir métallique divisé, dont un côté sera soumis à un vide. Le séparateur de réservoir se déforme-t-il de façon permanente sous la pression atmosphérique ? Quelle grosseur de soudure faut-il utiliser pour maintenir le séparateur en place ?Analyse statique linéaireCalcule les déplacements, les contraintes et les charges de réaction des matériaux rigides soumis à des charges constantes et stables. Ce type d'analyse fournit une rétroaction visuelle et numérique pour répondre à ces questions.

Tank with 14psi applied to tank divider. Deflection results from a linear static analysis shown at 30x scale Analysis in SOLIDWORKS Simulation Professional

Figure 5 : Réservoir avec une pression de 14 psi appliquée au séparateur. Déflexion obtenue à partir d'une analyse statique linéaire, à l'échelle 30x.

Une plaque longue et mince comme celle-ci peut se déformer lorsque le vide est appliqué d'un côté. Sur le terrain, cela peut se traduire par une légère flexion de la plaque lors de l'évacuation de l'air d'une moitié du réservoir. Cependant, après une certaine quantité d'air extraite, le séparateur éclate soudainement, causant une importante déflexion. Plutôt que de prédire précisément comment la plaque va se déformer, évitons tout flambage en prédisant à quelle pression la charge risque de se déformer.

Analysis in SOLIDWORKS Simulation Professional Linear Buckling Mode Prediction as Shown in SOLIDWORKS Simulation Professional

Figure 6 : Résultats du déplacement statique linéaire (à gauche) et prédiction du mode de flambement linéaire (à droite). La simulation indique à quelle charge critique le flambement est susceptible de se produire.

Des goussets supplémentaires pourraient réduire la déflexion initiale et prévenir le flambage. Créez des configurations de goussets, réutilisez les analyses déjà configurées et exécutez plusieurs analyses par lots dans une série d'optimisations pour comparer efficacement les idées de conception et obtenir des informations solides sur la conception la plus sûre.

Étape 4 : SOLIDWORKS Simulation Premium

SOLIDWORKS Simulation Premium étend les capacités de tests virtuels aux dynamiques linéaires et non linéaires : chocs, vibrations cycliques, vibrations aléatoires et chargements de type réponse de pointe. Concernant les matériaux, les analyses statiques de SOLIDWORKS Simulation Premium peuvent refléter la déformation plastique et le comportement hyperélastique. Le niveau Premium permet également des combinaisons ou des séquences de charges plus complexes. Pour en savoir plus, consultez notre article détaillant lesdifférents niveaux de SOLIDWORKS Simulation.

Displacement plots at certain frequencies on a SOLIDWORKS Simulation Premium Model

Figure 7 : Examen des tracés de déplacement à certaines fréquences

Alternatives 3DEXPERIENCE à SOLIDWORKS Simulation

Il existe une alternative cloud/SaaS exclusive à SOLIDWORKS Simulation disponible sur lePlateforme 3DEXPÉRIENCE. Les deux niveaux inférieurs duSTRUCTUREL 3DEXPÉRIENCELes outils d'analyse par éléments finis sont globalement équivalents à ceux de SOLIDWORKS Simulation Professional et Premium. L'interface et le solveur d'analyse par éléments finis sont différents (3DEXPÉRIENCE STRUCTURAL s'inspire d'Abaqus), il reste connecté à votre CAO native.

Vous voudrez peut-être opter pour3DEXPÉRIENCE si vous : utilisez le3DVersion EXPÉRIENCE de SOLIDWORKS, voulez profiternuage informatique, ou envisagez de passer plus tard aux types de simulation les plus avancés.

Matériel et formation pour SOLIDWORKS Simulation

Pour utiliser un programme FEA intégré à la CAO comme SOLIDWORKS Simulation, un concepteur devra également accéder à une licence SOLIDWORKS etun PC capable d'exécuter SOLIDWORKSIl n'est pas nécessaire de mettre à niveau un PC qui exécute déjà SOLIDWORKS pour ensuite exécuter SOLIDWORKS Simulation. Visitez notreguide du matériel pour examiner les PC que GoEngineer et notre partenaire Dell recommandent pour SOLIDWORKS et SOLIDWORKS Simulation.

Pour 3DEXPÉRIENCE STRUCTURELLE : le calcul par éléments finis peut être effectué dans le cloud. Encore une fois, le poste de travail CAO convient parfaitement, mais les ressources locales ne sont pas nécessaires pour exécuter la simulation (sauf si, pour une raison quelconque, vous le souhaitez – cette option est disponible).

L'intégration du prototypage virtuel intégré à la CAO en interne impliquera une formation sur l'interface utilisateur, la théorie FEA et l'accès àanalystes plus expérimentéspour éviter les pièges et obtenir des conseils sur l'application de l'analyse par éléments finis à vos produits particuliers.

La formation à l'interface utilisateur et à la construction de bases solides en mécanique des structures prend généralement entre une et quatre semaines, selon la méthode choisie. La confiance en soi augmente lorsqu'une équipe reproduit une conception ou un test en laboratoire antérieur, ou atteint enfin l'étape du prototypage physique et peut comparer ses résultats avec ses tests FEA. Cette comparaison se fait généralement à l'échelle macro (par exemple, déplacement maximal global) ou peut viser des fourchettes de pourcentage (par exemple, une réponse d'essai virtuelle systématiquement supérieure de 5 % à la réponse d'essai physique). Selon les données disponibles, cela peut prendre de quelques jours à la durée d'un cycle de conception complet.

GoEngineer offre un soutien à toutes ces étapes, deformation standardisée à votre rythme, formation personnalisée en personne, ou assistance individuelle sur demande avec nos experts.

À quoi ressemble le succès des étapes 2 à 4

Au niveau SOLIDWORKS Simulation Standard, l'accès à l'analyse structurelle répondra à la question : « Quelle conception est la meilleure ? » ou « Est-ce la bonne direction à prendre ? ».

Au fur et à mesure que vous progressez dans les versions Professionnelle et Premium, grâce à la possibilité de prédire les modes de défaillance dus à divers facteurs physiques, vous pouvez répondre avec plus de certitude à la question : « Ma conception va-t-elle échouer ? Supprimer une grande partie de ce danger dès la phase préliminaire permettra de gagner du temps en itérations pour les défaillances rencontrées lors du prototypage physique. Cela a trois impacts majeurs :

  1. Cela réduit le budget consacré à la fabrication de prototypes afin qu’il puisse être dépensé ailleurs.
  2. Il réduit le temps consacré à la fabrication de prototypes afin que les produits puissent arriver plus rapidement sur le marché et que les ingénieurs puissent consacrer leur productivité à d'autres projets.
  3. Cela facilite l'ingénierie : plus tôt dans la phase de développement, vous aurez plus de liberté pour apporter les modifications correctives nécessaires. (Figure 1)

Analyse de pointe – Conception détaillée

Lorsqu'une conception devient suffisamment mature et complexe, l'étape suivante consiste à envisager un logiciel d'analyse par éléments finis plus performant, capable d'une plus grande fidélité, d'une plus grande échelle de modèle et de scénarios multiphysiques. Ces outils peuvent toujours être associés à la CAO et convenir à un concepteur, mais si la charge de travail est importante (par exemple, si plusieurs équipes adoptent la simulation en parallèle ou si les assemblages de produits sont extrêmement volumineux), il peut être judicieux de faire appel à un analyste dédié.

Pour aborder cette phase, un bureau d'études doit déterminer les paramètres physiques spécifiques essentiels à la prédiction de la réponse. Les spécificités de l'assemblage de votre produit ou du scénario d'utilisation que vous souhaitez créer peuvent dépasser les modèles de simulation de type « complémentaires » de SOLIDWORKS Simulation. Les paramètres physiques peuvent également dépasser les capacités de l'outil d'analyse par éléments finis précédent, notamment en ce qui concerne le comportement des matériaux, la déformation ou les interactions entre les composants.

Par exemple, un fabricant de joints peut s'intéresser à la réponse non linéaire d'un caoutchouc spécifique lorsqu'il est comprimé et pressurisé. Un fabricant de bouteilles peut vouloir déterminer les modifications à apporter à sa chaîne de montage pour éviter la fissuration des bouteilles en verre dans des conditions de charge telles que la pressurisation, la mécanique liquide-solide pendant le transport ou les vibrations incidentes. Un revendeur à valeur ajoutée (VAR) de Dassault Systèmes ayant de l'expérience en simulation (comme GoEngineer, car nous disposons d'une équipe de conseil IAO dédiée) peut vous aider à déterminer quelles simulations peuvent (et doivent) être effectuées, en utilisant quels outils, par quelles méthodologies et avec quelle validation.

 
 
 

Figure 8 : Prédiction du mode de fréquence (à gauche), réponse aux contraintes utilisant la dynamique linéaire (au milieu), réponse au déplacement incluant le contact non linéaire utilisant la dynamique explicite (à droite)

Étape 5 : 3DEXPÉRIENCE STRUCTURELLE   Ingénieur de performance, ingénieur en mécanique des structures et Abaqus

Quoi que vous essayiez de simuler dans le domaine structurel, les niveaux supérieurs deSTRUCTURE 3DEXPÉRIENCE(Ingénieur en performance structurelle et ingénieur en mécanique des structures), et le solveur Abaqus traditionnelsur lesquels ils sont basés, peuvent le gérer. Pour en savoir plus sur le passage de SOLIDWORKS à Abaqus, consulteznotre article sur le sujetVotre revendeur SOLIDWORKS doit pouvoir discuter des différences entre Abaqus traditionnel et Abaqus haut de gamme.3DEXPÉRIENCE STRUCTURELLE telle qu’elle vous concerne – ces différences ont beaucoup à voir avec l’expérience utilisateur et les capacités marginales.

Matériel et formation pour les outils FEA basés sur Abaqus

En ce qui concerne le matériel nécessaire pour alimenter ces outils FEA structurels avancés, même si se lancer dans le calcul haute performance (HPC) peut être judicieux pour les grandes équipes, en tant que concepteur individuel, une station de travail CAO puissante est probablement suffisante.3DLes produits EXPERIENCE STRUCTURAL comprennent une quantité modeste d'accès à l'infonuagique et, pour les analyses extra-larges occasionnelles,une capacité supplémentaire peut être louée (jusqu'à 192 cœurs de calcul).

Transition d'un outil FEA SOLIDWORKS vers3DEXPÉRIENCE ou Abaqus bénéficierait, encore une fois, deformation sur l'interface utilisateur, la théorie FEA et l'accès à des analystes plus expérimentés, que GoEngineer continue d'offrir.

Les premières étapes judicieuses pourraient consister à reproduire un test expérimental précédent ou à nous avoir à vos côtés pendant que votre équipe passe de l’analyse avancée au prototypage physique pour la première fois.

Une équipe de conseil en simulation (comme celle de GoEngineer) peut même collaborer avec une entreprise pour comparer les données de tests physiques et développer une méthodologie d'analyse. Elle peut ensuite former l'entreprise à cette méthodologie (ou à tout autre sujet d'analyse par éléments finis pertinent) afin d'intégrer la simulation Abaqus en interne.

Alternatives à l'adoption de la simulation de l'étape 5

Certaines entreprises ont rarement besoin de simulations extrêmement volumineuses ou avancées, mais en bénéficieraient grandement chaque fois qu'ellesfait Exploitez-le. Dans de tels cas, le conseil en simulation, projet par projet, peut être la solution.Équipe des services de simulation fournit des services d'analyse de projets et de développement de produits, où ils peuvent intervenir pour des cas d'utilisation ou des projets particuliers lorsqu'il n'y a pas le temps ou le budget pour développer de telles capacités en interne.

Full-vehicle impact, dynamic explicit simulation

Figure 9 : Impact sur l'ensemble du véhicule, simulation explicite dynamique

À quoi ressemble le succès de l'étape 5

Alors que la fabrication et les tests des produits deviennent de plus en plus complexes et coûteux, il devient de plus en plus judicieux d'utiliser la simulation avancée pour numériser les tests jusqu'au stade de développement le plus avancé possible. Une utilisation efficace de la simulation avancée réduira les coûts des tests et améliorera la réussite des projets d'ingénierie complexes, tout en préservant la compétitivité sur le marché.

Les outils de simulation les plus avancés sont une page blanche. Des solveurs puissants, sans barrières de sécurité, vous permettent de faire à peu près tout, ce qui devient alors une question de solides connaissances de base, de créativité et d'ambition. Le plafond de compétences est infini ; c'est juste une question de temps et d'expérience pour tirer le maximum du temps passé à simuler.

Résumé

Intégrez le prototypage virtuel en interne en décidant à quel moment du cycle de conception votre équipe bénéficierait le plus du prototypage virtuel, puis en trouvant les outils correspondants.

    • Construisez une base en calculs manuels et en théorie FEA. Obtenez des réponses rapides et faciles sans frais.
  • Achetez un outil de conception préliminaire intégré à la CAO auprès duPortefeuille de simulation SOLIDWORKSpour des essais rapides et itératifs et pour éviter les modes de défaillance.
    • Ces outils vous fournissent des analyses relativement préstructurées pour améliorer la conception de vos produits.
    • Au fur et à mesure que vous améliorez l'outil et commencez à en voir la valeur, mettez à niveau le logiciel via les trois niveaux (ou leurs3D(équivalents d'EXPÉRIENCE) pour prédire plus d'aspects de la performance de votre produit.
    • Si vous avez travaillé de manière séquentielle à partir d’outils FEA plus introductifs, vous aurez désormais une bonne compréhension du fonctionnement de FEA, des pièges à éviter et de ce que vous aimeriez mieux comprendre concernant les performances de votre produit.
    • Au début, il peut être extrêmement utile de collaborer avec les consultants en simulation de GoEngineer pour développer les méthodologies d'analyse par éléments finis (FEA) qui permettent d'obtenir les prévisions dont vous avez besoin. Les formations standards (et même personnalisées) demeurent utiles.
    • À ce stade, les outils sont pratiquement polyvalents. Il s'agit donc maintenant de tirer des leçons de l'expérience et de les exploiter. Fixez-vous des objectifs de simulation de plus en plus ambitieux et travaillez à les atteindre.

Complétez tout investissement avec le soutien d'un partenaire comme GoEngineer. GoEngineer offredes formations sous forme de cours à rythme libre, en ligne ou en personne.

Renforcez la confiance dans le prototypage virtuel en comparant les analyses aux résultats expérimentaux ou de terrain. GoEngineer est là pour vous aider dans ce processus.Séances de mentorat pour les candidatures,soutien amélioré, des cours de formation personnalisés, ouServices FEA/CFD à louer sont des méthodes courantes pour connecter nos experts techniques aux vôtres afin de passer de la compréhension du programme à son application.

Où que vous soyez dans votre parcours d'analyse,apprenez à connaître votre fournisseur de logiciels ou de services de simulationLes ressources qu'ils offrent peuvent vous aider à atteindre vos objectifs de développement de produits.

LA SIMULATION EST IMPORTANTE.

Il est bien connu que la simulation nous permet de concevoir plus rapidement, mieux et à moindre coût… mais savoir et faire sont deux choses différentes. Pour en savoir plus, consultez notrePlus intelligent avec la simulation campagne.

 

À propos de Shivani Patel

Shivani a une formation en génie aérospatial et est gestionnaire en ingénierie pour le sud du Texas. Elle détient la certification Elite en SOLIDWORKS et est ravie de s'impliquer dans tout ce qui concerne les licences SOLIDWORKS. Sa principale spécialité est la simulation – elle a passé les 6 dernières années à approfondir les programmes d'analyse de mouvement, FEA et CFD tout en soutenant de nombreux clients dans le secteur pétrolier et gazier dans le sud.

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