Stratégies de stabilisation pour les modèles statiques non linéaires d'Abaqus

Un problème fréquent dans les simulations statiques non linéaires par éléments finis est la présence d'instabilités menant à la non-convergence. Ces instabilités sont souvent subtiles et facilement négligées, laissant l'analyste largement dans l'ignorance des raisons de l'échec de la simulation et des corrections à apporter pour parvenir à une solution convergente.

Il n’est donc peut-être pas surprenant que les utilisateurs de Abaqus ont souvent recours à la stabilisation automatique associée à la définition de l'étape (aussi appelée stabilisation statique) pour résoudre les problèmes de modèles. Cependant, la stabilisation automatique n'est pas destinée à être utilisée comme un outil universel pour résoudre les instabilités. En fait, une utilisation inappropriée peut produire des résultats irréalistes susceptibles d'entraîner des défaillances coûteuses du produit.

Pour aider les analystes à obtenir une solution convergée précise, ce blogue expliquera les instabilités et les méthodes de résolution appropriées, en se concentrant sur quand et comment utiliser les techniques de stabilisation populaires dans Abaqus/Standard pour les surmonter.

Avertissements typiques en cas de non-convergence dans les fichiers de sortie Abaqus:

Figure 1

Comprendre et surmonter les instabilités

Il existe de nombreuses façons de surmonter les instabilités pour faciliter la convergence, mais il est essentiel de comprendre les principales sources d'instabilité et comment elles mènent à la non-convergence. Commençons par comprendre quelques sources possibles de non-linéarité :

• Géométrie– Une analyse géométriquement non linéaire est une analyse dans laquelle la rigidité de la structure varie à mesure qu'elle se déforme. Voici quelques exemples :
  • Grandes déflexions et déformations, grandes rotations, instabilités structurelles (flambage), etc.

• Matériel– La non-linéarité du matériau est due à la dépendance de la contrainte à la déformation du courant. Voici quelques effets courants :
  • Élasticité non linéaire, plasticité des métaux, fissuration, écrasement, rétrécissement, etc.

• Limite (Contact)– Variation discontinue de la rigidité due à la nature du contact, définie par des comportements normaux et tangentiels. Le contact normal est établi ou non, tandis que le contact tangentiel est ouvert, glissant ou collant. Il s'agit toujours d'une variation soudaine de rigidité et est donc classé comme discontinu.

Il est à noter qu'un thème récurrent de ces instabilités est un changement de rigidité : plus le changement de rigidité est important, plus le risque de non-convergence est grand.

Pour comprendre l'importance de ce point, revenons aux fondamentaux qui rendent un problème statique ou dynamique. En termes simples, la différence réside dans la présence d'effets d'inertie :

Équilibre dynamique

Équilibre statique

Lorsque les forces d'inertie sont faibles (mais–> 0), l’équation se réduit à la forme statique de l’équilibre.

Pour une analyse statique, notez qu'il n'y a pas d'inertie et que la solution est dominée par les composantes associées à l'amortissement et à la rigidité.

Ainsi, sans amortissement et sans changements soudains de rigidité lorsque la structure commence à se déformer/se plier ou que le matériau se ramollit, la rigidité nulle entre les objets, comme les espaces de contact et le mouvement du corps rigide sans contrainte, rend difficile la convergence du solveur statique vers une solution.

Par conséquent, l'absence d'amortissement inhérent, associée à des changements brusques de rigidité (dus à des phénomènes tels que le flambage, la flexion ou le ramollissement du matériau) ou même à l'absence totale de rigidité dans des situations telles que les espaces de contact ou le mouvement du corps libre, rend souvent difficile pour le solveur statique d'atteindre une solution convergée.

Il existe trois options couramment envisagées pour surmonter ce problème :

• Une procédure dynamique implicite (quasi statique) dans Abaqus/Standard
• Une procédure dynamique dans Abaqus/Explicit
• Une procédure statique avec stabilisation utilisant Abaqus/Standard

Étant donné que le sujet de cet article porte sur les problèmes non linéaires statiques, nous tournons notre attention vers la troisième option : l’utilisation de la stabilisation dans le solveur Abaqus/Standard.

Comme mentionné au début de ce billet de blogue, en raison de sa surutilisation généralisée et de ses conséquences négatives potentielles, nous devons être prudents quant au moment où la stabilisation statique est appliquée.

La stabilisation statique est principalement utilisée pour surmonter les problèmes de convergence causés par des instabilités globales ou des phénomènes entraînant des modifications de la rigidité globale, tels que le flambement de la structure entière, le ramollissement du matériau ou le mouvement sans contrainte d'un corps rigide. Cette option est activée lors de la définition des détails d'une étape dans une procédure statique. Pour l'utiliser, vous pouvez utiliser l'une des options disponibles, comme la spécification d'un facteur d'amortissement ou d'une fraction d'énergie dissipée.

• Si vous spécifiez un facteur d'amortissement, une valeur constante sera utilisée tout au long de l'étape. Cette valeur est généralement choisie par tâtonnements ou par expérience.
• Si vous choisissez d'utiliser la fraction d'énergie dissipée (le rapport entre l'énergie de stabilisation (ALLSD) et l'énergie de déformation totale (ALLIE) du modèle), Abaqus ajustera le facteur d'amortissement, le maintenant en dessous de la valeur spécifiée. La valeur par défaut est 2,0e-4. Vous pouvez également contrôler le comportement adaptatif en définissant une valeur de tolérance. Si le ratio la dépasse, Abaqus ajustera automatiquement le facteur d'amortissement par incréments ultérieurs. Si la tolérance est réglée à 0, un facteur d'amortissement constant (basé sur la fraction d'énergie initiale) sera utilisé.

Le choix de ces options de stabilisation et de leurs paramètres doit être fait avec prudence et discernement. La dissipation d'énergie dans le modèle doit être surveillée afin de s'assurer qu'elle se situe dans des limites raisonnables. Pour ce faire, nous surveillons l'historique des grandeurs de sortie du modèle : énergie de stabilisation (ALLSD) et énergie de déformation (ALLSE). Cela permet de s'assurer que l'ajout de la stabilisation n'influence pas significativement le comportement physique modifié.

Le manuel Abaqus recommande de garder l'ALLSD sous les 5 % de l'ALLSE. Minimiser ce pourcentage d'énergie de stabilisation peut favoriser l'atteinte d'un comportement physique. L'option de stabilisation adaptative, qui ajuste le facteur d'amortissement en fonction du comportement de convergence, est une option utile à envisager, garantissant que les valeurs d'amortissement adaptatif utilisées n'entraînent pas un dépassement des valeurs d'énergie de déformation entre les énergies de stabilisation et les valeurs d'énergie de déformation.

En nous basant sur notre compréhension du moment et de la manière d'utiliser la stabilisation statique par étapes, nous allons maintenant nous tourner vers une autre option de stabilisation courante dans Abaqus/Standard : la fonction de stabilisation des commandes de contact utilisée avec les paires de contacts.

Pour plus de détails, consultez la figure 2 ci-dessous.

Stabilisation appliquée aux paires de contacts

Nous avons discuté précédemment du fait que le contact est une forme hautement non linéaire de non-linéarité, où l’état d’interaction entre les régions peut continuer à changer – soit en collant, en glissant ou en s’ouvrant.

Dans les scénarios où les corps se rapprochent pour établir un contact, la convergence peut être problématique avant un engagement complet en raison de l'incapacité d'établir un équilibre.

Imaginons une simulation où une force est appliquée à un pénétrateur sphérique pour le déplacer vers un deuxième corps. Initialement, tant qu'un espace existe entre les deux, le pénétrateur se comporte comme un corps rigide. Cela se produit parce que, sans contact, il n'y a aucune force opposée ni limite susceptible de générer une réaction, ce qui empêche l'équilibre statique d'être atteint. Bien que le mécanisme de stabilisation repose sur l'ajout d'un amortissement visqueux, il serait judicieux de considérer l'ajout de stabilisation dans ce scénario comme ayant un effet semblable à celui de ressorts temporairement faibles à l'interface de contact. Une force de réaction opposée se développerait et contribuerait à l'atteinte de l'équilibre statique ou de la convergence.

Un autre scénario pourrait être celui où les objets sont en contact total, mais où les deux surfaces de contact présentent un mouvement relatif. Ce changement d'état peut provoquer ce qu'on pourrait appeler des chocs numériques. La stabilisation dans le cadre des paires de contacts peut aider à amortir ces chocs, à fluidifier le processus de convergence numérique et à réduire l'instabilité.

Voici quelques conseils pour appliquer efficacement la stabilisation aux paires de contacts :

1. Appliquer la stabilisation à la paire de contacts concernée– Étant donné qu'une source fréquente d'instabilité dans les modèles provient des problèmes de frontière (contact), il est préférable de cibler les paires de contacts nécessitant une stabilisation afin de faciliter l'établissement du contact initial. Cela permet de minimiser la quantité de stabilisation utilisée et donc de réduire le risque d'erreur.
   • La stabilisation est appliquée à la paire de contacts au début de l'étape, et l'utilisateur peut choisir de réduire sa valeur jusqu'à zéro (ou une valeur très faible) à la fin de l'étape. Cette méthode est particulièrement adaptée aux paires de contacts présentant un écart au début de l'étape.mouvement de corps rigide sans contrainte, singularité numérique DOF, régions non connectées). Pour ce faire, Abaqus/CAE, créer un Définition des contrôles de contact avec Stabilisation automatique,et sur lePaire de contacts,sélectionnez la liste déroulante correspondant à votreContrôle des contactscomme le montre la figure 2 ci-dessous.
     
     
     Figure 2
     
     
2. Vérifiez les énergies– Une bonne pratique consiste à toujours vérifier l’énergie de stabilisation (ALLSD) par rapport à l'énergie totale (ALLSE) du modèle. La recommandation est de garderALLSDà moins de 5 % deALLSE. Cependant, dans la pratique, vous pourriez essayer de réduire cela à une valeur beaucoup plus faible (par exemple, 1 % ou même moins) et toujours avoir un modèle convergé, il est donc bon d'essayer quelques itérations en diminuant la stabilisation.
   • N'oubliez pas que la stabilisation est artificielle et que plus la quantité présente est importante, plus le risque d'erreur dans la solution globale est grand.
   • Une stabilisation excessive peut aussi être néfaste. Elle peut entraîner un comportement non physique ou une non-convergence.
   • La figure 3 montre un exemple - un tracé historique des énergies, où une stabilisation excessive est évidente à partir de la courbe d'énergie de stabilisation (ALLSD).
     
     
     Figure 3
     
     
3. Ajouter une étape pour établir le contact– Une autre façon de réduire l'erreur créée par la stabilisation et de faciliter la convergence dans les modèles avec paires de contacts consiste à diviser l'étape de charge en deux. Lors de la première étape, appliquez la stabilisation, mais avec une petite fraction (1 à 10 %) de la charge maximale. Ainsi, le contact peut être établi, éliminant ainsi le besoin de stabilisation à l'étape suivante, où la charge peut être augmentée jusqu'à la charge maximale. La figure 3 montre que l'énergie de stabilisation augmente à l'étape 1, mais reste constante à l'étape 2. Dans Abaqus/CAE, vous pouvez configurer cela comme suit :
   
   
   
   Figure 4

Un exemple illustratif de résultats tirés de recommandations appliquées

Pour mieux comprendre ces concepts, nous appliquerons ces recommandations à un modèle d'analyse simple (appelé modèle « A »). Ce modèle rencontre initialement des problèmes de convergence ou ne parvient pas à résoudre le problème. Les avertissements générés dans son fichier de messages sont présentés à la figure 1. Nous répartissons ensuite la charge appliquée en deux étapes et faisons varier le facteur de stabilisation automatique pour tenter de réduire la quantité d'énergie de stabilisation. Ces deux variantes génèrent des modèles « B » et « C ».

Pour suivre l’impact de ces recommandations et les variations de stabilisation, nous enregistrerons les paramètres d’entrée essentiels et les données de sortie observées dans le tableau ci-dessous :

Vous pouvez observer que l'analyse de la ligne A comporte une seule étape où la charge maximale est appliquée et où la stabilisation automatique avec un facteur 1 est active sur la paire de contacts. En vérifiant le ratio ALLSD/ALLSE dans les résultats, nous observons une valeur de 13 725 %, ce qui est clairement contraire à la recommandation de 5 %.

Le modèle « B » comporte une deuxième étape : la charge appliquée représente 1 % de la charge totale lors de la première étape, puis passe à 100 % lors de la seconde. Le facteur de stabilisation est réduit à 1E-2 et appliqué seulement lors de la première étape. En vérifiant le ratio ALLSD/ALLSE, on constate qu'il est de 149 %, inférieur à l'analyse précédente, mais toujours en violation de la recommandation de 5 %.

Nous apportons d'autres modifications au modèle « C » : le facteur de stabilisation est réduit de 1E-2 à 1E-8. Par conséquent, le ratio ALLSD/ALLSE s'établit désormais à 0,27 %, soit nettement moins que la recommandation de 5 %. Le modèle « C » ayant le ratio ALLSD/ALLSE le plus faible, on s'attend à ce que son comportement simulé soit plus proche de la réalité que les deux précédents.

Il est également à noter que la stabilisation introduit un effet d'amortissement, résistant au mouvement incrémental relatif entre les surfaces en contact. Même dans une analyse « statique », le solveur traite de petits déplacements incrémentaux sur de courtes périodes de pseudo-temps (le temps étant une quantité non physique dans une analyse statique). Le pseudo-temps permet de suivre la progression graduelle du solveur. Par conséquent, plus les déplacements incrémentaux relatifs sont importants pendant ces pseudo-incréments de temps (agissant comme une vitesse relative plus élevée pour l'algorithme de stabilisation), plus la force d'amortissement artificielle appliquée pour cet incrément sera importante. Cela signifie que si vous exécutez le même modèle plusieurs fois en modifiant certaines caractéristiques, comme le frottement entre les surfaces de contact, vous pourriez constater différents niveaux de stabilisation appliqués automatiquement, ce qui entraînerait des effets incohérents sur les résultats, comme la contrainte maximale.

En conclusion, la stabilisation est un outil très puissant pour atteindre la convergence dans les problèmes statiques non linéaires. Appliquez la stabilisation de manière responsable pour garantir des résultats aussi réalistes que possible.

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Note de l'éditeur : Cet article a été initialement publié en juin 2021 et a été mis à jour pour plus d’exactitude et d’exhaustivité.

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