Quand passer de l'analyse linéaire par éléments finis à l'analyse par éléments finis non linéaire

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Article de Andrea Isfeld sur oct. 08, 2025

L'analyse par éléments finis (AEF) est devenue un outil standard pour les ingénieurs, permettant d'évaluer la performance d'un produit avant la réalisation d'un prototype physique. Cependant, toutes les FAE ne se valent pas. Choisir entre linéaire ou non linéaire Le solveur peut faire la différence entre des résultats réalistes et exploitables et des résultats qui semblent convaincants, mais qui ne parviennent pas à saisir un comportement réel.

Vous trouverez ci-dessous un exemple simple de poteau chargé excentriquement. L'analyse linéaire ne tient pas compte des effets charge-déplacement du second ordre résultant de l'augmentation de l'excentricité de la charge à mesure que le poteau se déforme. Par conséquent, l'analyse linéaire produit des déplacements bien inférieurs à ceux que l'analyse non linéaire peut saisir.

Linear vs Nonlinear FEA

Même cas de charge, linéaire ou non linéaire : comment l'analyse par éléments finis linéaire peut induire l'ingénieur en erreur

Cet article explique comment reconnaître quand l'analyse par éléments finis linéaire ne suffit plus et comment passer à l'analyse non linéaire en toute confiance. Les principes s'appliquent à l'utilisation de l'analyse par éléments finis linéaire. Simulation SOLIDWORKS, Simulation en forme, STRUCTUREL 3DEXPÉRIENCE, Abaqus, ou autre logiciel FEA.

Qu'est-ce que l'analyse linéaire par éléments finis ?

L'analyse linéaire par éléments finis repose sur le principe que la relation entre les forces (F) et les déplacements (u) est linéaire et proportionnelle à la rigidité (K) de la structure sous-jacente. Pour un problème statique, elle est formulée ainsi :

F = Ku

Ici, la rigidité et les charges appliquées sont indépendantes du déplacement, ce qui signifie que la réponse du système ne change pas lorsque la structure se déforme. Grâce à cette propriété, les systèmes linéaires sont rapides à résoudre, les résultats sont prévisibles et la superposition permet de combiner plusieurs cas de charge.

Linear Stiffness Plot

Graphique de rigidité linéaire

L'analyse linéaire par éléments finis repose sur trois hypothèses principales :

Déformations mineures:La structure se déforme seulement légèrement et les changements géométriques n’affectent pas significativement les résultats.
Comportement linéaire des matériaux:La contrainte est proportionnelle à la déformation (la loi de Hooke s'applique directement).
Conditions aux limites constantes:Les supports, les charges et les conditions de contact ne changent pas pendant l'analyse.

Ces hypothèses rendent l'analyse linéaire rapide et stable, ce qui explique son choix par défaut pour de nombreuses tâches de conception précoce. Elle permet aux ingénieurs d'évaluer la rigidité, d'identifier les points chauds de contrainte et de comparer les alternatives de conception avec un coût de calcul minimal.

L'un des principaux avantages de l'analyse linéaire par éléments finis est sa pertinence pour les études de conception à grande échelle. Grâce à la rapidité et à la prévisibilité des analyses, les ingénieurs peuvent utiliser des modèles linéaires dans les plans d'expériences (DOE) ou les processus d'optimisation pour explorer de vastes espaces de conception, évaluer les compromis et affiner les concepts prometteurs. Des outils intégrés à la CAO tels que SOLIDWORKS Simulation ou 3DEXPÉRIENCE, ce flux de travail peut être réalisé de manière transparente dans le logiciel, permettant aux ingénieurs d'évaluer les performances sans quitter leur environnement de conception.

L'analyse linéaire par éléments finis est également largement utilisée pour les évaluations par rapport aux exigences des codes. En pratique, les composants structurels sont généralement conçus de manière à ce que les contraintes restent dans la plage élastique et que les déplacements soient contrôlés avec des tolérances strictes. Par exemple, une équerre en aluminium usinée soumise à des charges de fixation peut être évaluée par une étude linéaire statique afin de vérifier que les contraintes maximales restent inférieures à la limite d'élasticité avec un coefficient de sécurité approprié.

Au-delà des vérifications statiques, les solveurs linéaires prennent également en charge les analyses dynamiques et de stabilité grâce à des méthodes de perturbation. Voici quelques exemples courants :

Extraction de fréquence - identifie les modes de vibration naturels.
Flambement linéaire - prédit les charges critiques pour les structures minces ou élancées.
Dynamique à l'état d'équilibre -évalue la réponse harmonique à une charge sinusoïdale.
Analyse du spectre de réponse - estime les réponses structurelles maximales sous charge harmonique.

Par exemple, une analyse du spectre de réponse permet d'estimer les moments maximaux de cisaillement à la base et de renversement dans le système résistant aux forces sismiques d'un bâtiment. De même, une étude de flambement aux valeurs propres peut être appliquée à un long poteau afin de déterminer sa stabilité sous les charges de service prévues.

L'analyse linéaire par éléments finis allie simplicité, rapidité et fiabilité, ce qui en fait un élément essentiel de la simulation structurelle. Des vérifications du facteur de sécurité à l'optimisation de la conception en passant par les études dynamiques linéaires, elle permet aux ingénieurs de sélectionner les concepts, de valider les conceptions et d'orienter efficacement leurs décisions avant de passer à la validation non linéaire ou expérimentale. Pour les pièces rigides soumises à des charges modérées, l'analyse linéaire par éléments finis offre souvent toute la précision requise en une fraction du temps nécessaire aux simulations plus complexes.

Qu'est-ce que l'analyse par éléments finis non linéaire ?

L'analyse non linéaire par éléments finis entre en jeu lorsqu'une ou plusieurs hypothèses linéaires ne sont plus vérifiées. Dans ce cas, la rigidité et les charges appliquées ne sont plus indépendantes des déplacements et doivent être continuellement mises à jour au fur et à mesure de la résolution. Contrairement aux problèmes linéaires, qui peuvent être résolus par une simple inversion de matrice, les problèmes non linéaires nécessitent incrémental étapes de charge combinées avec stratégies de solutions itératives ou explicites pour saisir la réponse évolutive.

The force-displacement relationship in linear vs. nonlinear regimes

La relation force-déplacement dans les régimes linéaires et non linéaires

Pour les solveurs implicites, les méthodes itératives, comme algorithme de Newton-Raphson et ses variantes permettent de mettre à jour régulièrement les déplacements, de réévaluer la rigidité et de vérifier la convergence. Les solveurs explicites, souvent utilisés dans les problèmes dynamiques, évitent les vérifications de convergence en avançant la solution par incréments de temps suffisamment courts, grâce à schémas de différences centrales.

Il existe trois sources principales de non-linéarité :

Non-linéarité géométrique:Des déplacements ou des rotations importants modifient la rigidité ou le chemin de charge de la structure. Le flambage, le post-flambage et le bris de charge en sont des exemples classiques.
Non-linéarité matérielleSe produit lorsque la réponse contrainte-déformation du matériau n'est pas proportionnelle. On peut citer comme exemples les métaux qui se déforment, les caoutchoucs et les élastomères qui se déforment de manière hyperélastique, et les composites qui subissent des dommages progressifs.
Condition aux limites/non-linéarité de contact: Se produit lorsque l'interaction des composants change pendant le chargement. Des espaces peuvent se fermer, le frottement peut créer une résistance au glissement, ou des pièces peuvent entrer et sortir de contact.

L'analyse par éléments finis non linéaire fournit des résultats plus précis pour certains problèmes qui dépassent les hypothèses linéaires, mais ces analyses sont également plus exigeantes en termes de calcul et potentiellement plus difficiles à mettre en place.

L'analyse non linéaire est couramment utilisée dans plusieurs secteurs. Les ingénieurs de l'automobile et de l'aérospatiale s'appuient sur l'analyse par éléments finis non linéaire pour les simulations de collision, les analyses détaillées de flambage et le délaminage des composites. Les produits de consommation à encliquetage ou les composants élastomères nécessitent souvent une modélisation hyperélastique et de contact. Les dispositifs biomédicaux, tels que les endoprothèses ou les implants orthopédiques, subissent d'importantes déformations et des interactions complexes qui ne peuvent être capturées linéairement. Les machines industrielles et les systèmes sous pression impliquent des joints, des garnitures et des assemblages boulonnés où le frottement, la précharge et l'évolution des contacts doivent être pris en compte.

Même dans les applications de génie civil et mécanique plus traditionnelles, des coques minces ou des éléments structurels élancés peuvent se déformer ou se briser, entraînant un changement de rigidité et éventuellement une charge que l'analyse linéaire ne pourrait pas prendre en compte.

Les outils intégrés à la CAO, tels que SOLIDWORKS Simulation Premium, offrent des capacités non linéaires limitées, mais les phénomènes hautement non linéaires nécessitent généralement des solveurs spécialisés comme Abaqus.

Full-vehicle crash impact modeled in Abaqus/Explicit

Impact d'un véhicule en collision avec un autre véhicule modélisé dans Abaqus/Explicit

Lorsque l'analyse linéaire par éléments finis peut être inadéquate

L'analyse linéaire par éléments finis fournit rapidement des renseignements utiles, tant que les hypothèses de l'analyse linéaire restent valables. Cependant, pour des problèmes de physique plus complexes, l'analyse par éléments finis linéaire peut être trompeuse, parfois de manière spectaculaire. Certains signes révélateurs indiquent qu'un solveur linéaire ne fournit pas une vue d'ensemble complète :

Grosses déformations: Déformations supérieures à environ 5 % ou changement de forme significatif qui modifie les chemins de charge.
Réponse matérielle non linéaire: Déformation, étirement hyperélastique, viscoélasticité ou dommage.
Modifications du chemin de chargement:Instabilités telles que le claquement ou le flambage.
Effets de contact:Surfaces entrant en contact, se séparant ou glissant avec frottement.
Résultats linéaires non physiques:Des modèles de contraintes ou des déformations irréalistes qui indiquent des hypothèses violées.

Certaines situations d'ingénierie peuvent paraître linéaires, mais méritent un examen plus approfondi :

Pièces minces sous compression : Une étude de flambement linéaire peut estimer la charge critique, mais seule une analyse non linéaire révèle si la structure s'effondre soudainement, redistribue la charge ou se stabilise après le flambement.
Simulations multiphysiquesPlusieurs charges peuvent sembler linéaires prises isolément, mais leur interaction peut introduire des effets non linéaires. C'est particulièrement vrai dans les problèmes couplés. Par exemple, dans une analyse thermomécanique, des températures élevées peuvent réduire la résistance du matériau, entraînant une plasticité ou une instabilité localisée qu'une approche purement linéaire ne détecterait pas.
Interfaces de contact collées : Supposer que les pièces sont parfaitement assemblées peut être acceptable dans un modèle linéaire initial, mais cela peut surestimer la rigidité ou la résistance. L'analyse non linéaire permet des représentations plus réalistes, intégrant des effets tels que le frottement, la liaison partielle ou la rupture cohésive, qui peuvent influencer de manière significative le transfert de charge et le comportement global.

Dans les cas limites, la comparaison directe des résultats linéaires et non linéaires permet de déterminer si les effets non linéaires sont significatifs. Si votre modèle présente un ou plusieurs de ces comportements, il est judicieux d'envisager une approche non linéaire.

Comment passer à l'analyse non linéaire

Passer d'une analyse linéaire à une analyse non linéaire ne se limite pas à activer les options du solveur. Il s'agit d'adapter soigneusement le modèle pour refléter le comportement physique tout en assurant la stabilité numérique. Tous les outils d'analyse par éléments finis ne gèrent pas les non-linéarités de la même manière ; il est donc important d'évaluer les capacités du solveur en amont.

Étape 1 : Identifier la non-linéarité dominante

Matériel: Y a-t-il de la plasticité, du fluage, de l'hyperélasticité ou des dommages ?
Géométrique : Les déflexions sont-elles importantes par rapport à l'épaisseur ou à la portée (règle empirique : > 5 % de déformation ou de déplacement) ?
Limite/Contact : Les pièces se séparent-elles, glissent-elles ou interagissent-elles avec des effets de friction ?

Comprendre les sources de non-linéarité vous aide à prioriser les fonctionnalités du modèle et les exigences du solveur.

Étape 2 : Évaluer la capacité du solveur

Avant de modifier le modèle, assurez-vous que votre outil d'analyse par éléments finis (FEA) peut gérer les effets non linéaires. Les solveurs intégrés à la CAO, comme SOLIDWORKS Simulation, excellent en termes d'accessibilité et d'itération rapide, prenant en charge les non-linéarités de base telles que la plasticité ou l'hyperélasticité. Les solveurs polyvalents, comme Ansys, étendent leurs capacités aux grandes déformations, aux matériaux complexes et aux contacts plus sophistiqués. Pour les phénomènes hautement non linéaires, comme l'instabilité, les interactions de contact complexes ou le couplage multiphysique, Abaqus est largement reconnu pour sa robustesse et sa précision ; c'est le solveur d'analyse par éléments finis mécanique que nous recommandons vivement.

Étape 3 : Modifier la configuration du modèle

Type d'étape et paramètres

Sélectionnez un type d'étape approprié pour la physique du problème. Statique, Général L'étape fonctionne bien pour les problèmes quasi-statiques tels que la plasticité ou l'hyperélasticité, tandis que Riks/longueur d'arc Les marches sont utiles pour les problèmes d'instabilité comme le flambage ou le claquement. Dynamique étapes, que ce soit implicite (Abaqus/Standard) ou explicite (Abaqus/Explicit), sont utiles non seulement lorsque les effets de masse et d'inertie sont importants, mais également pour les problèmes quasi-statiques où un comportement hautement non linéaire ou un contact complexe rend les solutions statiques difficiles. Des simulations plus complexes peuvent aussi inclure une approche multiphysique. Abaqus rend particulièrement simple la combinaison de ses différents solveurs et étapes d'analyse en une seule séquence.

Activez la géométrie non linéaire (par exemple, NLGEOM=YES dans Abaqus) pour que la matrice de rigidité se mette à jour à mesure que la structure se déforme. Ajustez les incréments de temps, la stabilisation et les tolérances de convergence pour améliorer la robustesse.

Step setup in Abaqus/CAE Configuration des étapes dans Abaqus/CAE

Matériel

Remplacez les définitions simples de matériaux élastiques par des détails plus complets (courbes contrainte-déformation plastiques, potentiels d'énergie de déformation hyperélastique, viscoélastique, etc.). Abaqus est le chef de file de la modélisation et de la caractérisation de matériaux complexes et même définis par l'utilisateur.

Définitions des contacts

Définissez les interactions de contact en fonction du domaine de contact, des propriétés et de la formulation. Cela permet d'établir un contact entre les surfaces et de l'adapter au cours de l'analyse, si nécessaire. Abaqus est unique : il permet de définir automatiquement les interactions de contact d'un modèle entier, tout au long de l'analyse, en activant son algorithme de contact général.

Charges et conditions aux limites

Réexaminer les charges et les contraintes ; par exemple, une charge de pression linéaire à faible déplacement pourrait devoir être mise à jour pour suivre une surface en mouvement.

Les charges peuvent être appliquées progressivement au sein d'une même étape ou fractionnées en plusieurs étapes d'analyse si différentes phases de chargement ou conditions aux limites sont présentes. Cette approche réduit la complexité de chaque étape et peut améliorer la convergence.

Stabilisation

Si nécessaire, une stabilisation, automatique ou par contact, peut être ajoutée pour aider à faire progresser une analyse non linéaire à travers une phase instable (claquement, flambage, contact).

Étape 4 : Valider et répéter

Vérifiez les résultats par rapport aux attentes

Comparez les déplacements, les contraintes et les forces de réaction avec des calculs manuels, des modèles simplifiés ou l'intuition physique pour vous assurer que la solution se comporte de manière raisonnable.

Contrôles énergétiques des modèles

Surveillez les contributions énergétiques afin de vous assurer qu'une stabilisation artificielle ne fausse pas la physique du modèle. Dans les simulations Abaqus/Standard (implicites), l'énergie de stabilisation (ALLSD), qui représente l'amortissement visqueux artificiel, doit rester bien inférieure à l'énergie de déformation totale (ALLSE). Il est recommandé de maintenir l'ALLSD à moins de 5 % de l'ALLSE, et de nombreux analystes visent 1 % ou moins. Pour les analyses Abaqus/Explicit (dynamiques ou quasi-statiques), assurez-vous que l'énergie cinétique (ALLKE) reste négligeable par rapport à l'énergie interne (ALLIE), sauf si le problème est intentionnellement dynamique. Une règle pratique consiste à maintenir l'ALLKE inférieure à 5 à 10 % de l'ALLIE.

Energy plots are a powerful tool for validating an FEA model

Les graphiques énergétiques sont un outil puissant pour valider un modèle FEA

Comparer avec des données expérimentales ou empiriques

Lorsque possible, comparez le modèle aux résultats des tests, aux normes ou aux données publiées pour confirmer l'exactitude.

Raffinement du maillage

Assurez-vous que le maillage est assez mince pour capturer les gradients de contrainte, le comportement de contact et la plasticité localisée. Effectuez des contrôles de convergence du maillage, en l'affinant progressivement jusqu'à ce que les résultats, tels que les contraintes maximales ou les déplacements, se stabilisent. Les problèmes non linéaires sont souvent plus sensibles à la qualité du maillage que les problèmes linéaires, en particulier autour des interfaces de contact et des zones plastiques.

Parcourir la configuration du modèle

Selon les résultats de validation, ajustez les propriétés des matériaux, les conditions aux limites ou les contrôles du solveur. L'analyse par éléments finis non linéaire nécessite souvent plusieurs cycles de raffinement avant d'obtenir des résultats fiables.

Conclusion

L'analyse linéaire par éléments finis est un outil rapide et efficace pour résoudre de nombreux problèmes d'ingénierie, mais certaines conceptions nécessitent un traitement plus poussé. Des déformations importantes, un comportement non linéaire des matériaux, des conditions de contact évolutives et des phénomènes d'instabilité sont autant d'indicateurs de la nécessité d'une analyse non linéaire.

Lorsque cette transition devient essentielle, les solveurs non linéaires comme Abaqus fournissent le cadre nécessaire pour capturer ces effets avec une précision et une fiabilité accrues. L'essentiel est de laisser la physique du problème, et non la commodité de l'approche actuelle, guider les choix de modélisation. Commencez simplement, augmentez la complexité étape par étape et validez par des expériences chaque fois que possible. Cette approche rigoureuse garantit que l'analyse par éléments finis non linéaire apporte non seulement des informations, mais aussi une confiance dans les résultats.

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